Jumat, 15 April 2011

TRIGONOMETRI

Awal trigonometri dapat dilacak hingga zaman Mesir Kuno dan Babilonia dan peradaban Lembah Indus, lebih dari 3000 tahun yang lalu. Matematikawan India adalah perintis penghitungan variabel aljabar yang digunakan untuk menghitung astronomi dan juga trigonometri. Lagadha adalah matematikawan yang dikenal sampai sekarang yang menggunakan geometri dan trigonometri untuk penghitungan astronomi dalam bukunya Vedanga, Jyotisha, yang sebagian besar hasil kerjanya hancur oleh penjajah India.
Matematikawan Yunani Hipparchus sekitar 150 SM menyusun tabel trigonometri untuk menyelesaikan segi tiga.
Matematikawan Yunani lainnya, Ptolemy sekitar tahun 100 mengembangkan penghitungan trigonometri lebih lanjut.
Matematikawan Silesia Bartholemaeus Pitiskus menerbitkan sebuah karya yang berpengaruh tentang trigonometri pada 1595 dan memperkenalkan kata ini ke dalam bahasa Inggris dan Perancis.

Trigonometri sekarang ini

Ada banyak aplikasi trigonometri. Terutama adalah teknik triangulasi yang digunakan dalam astronomi untuk menghitung jarak ke bintang-bintang terdekat, dalam geografi untuk menghitung antara titik tertentu, dan dalam sistem navigasi satelit.
Bidang lainnya yang menggunakan trigonometri termasuk astronomi (dan termasuk navigasi, di laut, udara, dan angkasa), teori musik, akustik, optik, analisis pasar finansial, elektronik, teori probabilitas, statistika, biologi, pencitraan medis/medical imaging (CAT scan dan ultrasound), farmasi, kimia, teori angka (dan termasuk kriptologi), seismologi, meteorologi, oseanografi, berbagai cabang dalam ilmu fisika, survei darat dan geodesi, arsitektur, fonetika, ekonomi, teknik listrik, teknik mekanik, teknik sipil, grafik komputer, kartografi, kristalografi.
Ada pengembangan modern trigonometri yang melibatkan "penyebaran" dan "quadrance", bukan sudut dan panjang. Pendekatan baru ini disebut trigonometri rasional dan merupakan hasil kerja dari Dr. Norman Wildberger dari Universitas New South Wales. Informasi lebih lanjut bisa dilihat di situs webnya [1].

Hubungan fungsi trigonometri

\sin^2 A + \cos^2 A = 1 \,
1 + \tan^2 A = \frac{1}{\cos^2 A} = \sec^2 
A\,
1 + \cot^2 A = \csc^2 A \,
\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}\,

 Penjumlahan

\sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B 
\,
\sin (A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B 
\,
\cos (A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B 
\,
\cos (A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B 
\,
\tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan
 A \tan B} \,
\tan (A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan
 A \tan B} \,

 Rumus sudut rangkap dua

\sin 2A = 2 \sin A \cos A \,
\cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A = 2 \cos^2 A -1 =
 1-2 \sin^2 A \,
\tan 2A = {2 \tan A \over 1 - \tan^2 A} = {2 
\cot A \over \cot^2 A - 1} = {2 \over \cot A - \tan A} \,

 Rumus sudut rangkap tiga

\sin 3A = 3 \sin A - 4 \sin^3 A \,
\cos 3A = 4 \cos^3 A - 3 \cos A \,

Rumus setengah sudut

\sin \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos 
A}{2}} \,
\cos \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1+\cos 
A}{2}} \,
\tan \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos 
A}{1+\cos A}} = \frac {\sin A}{1+\cos A} = \frac {1-\cos A}{\sin A} \,

Selasa, 05 April 2011

BAGAIMANA CARA BELAJAR MATEMATIKA

“Belajar matematika adalah belajar hidup. Matematika adalah jalan hidup.”
Trachtenberg mempertaruhkan jiwanya menentang Hitler. Trachtenberg, setelah menyelami prinsip-prinsip matematika, menyimpulkan bahwa prinsip kehidupan adalah keharmonisan. Peperangan yang terus berkobar, menyulut kebencian tidak sesuai dengan prinsip-prinsip matematika. Matematika adalah keindahan.
Atas penentangannya ini, Hitler menghadiahi Trachtenberg hukuman penjara. Bagi Trachtenberg, perjara bukan apa-apa. Di dalam penjara, dia justru memiliki kesempatan memikirkan matematika tanpa banyak gangguan. Karena sulit mendapatkan alat tulis-menulis, Trachtenberg mengembangkan pendekatan matematika yang berbasis mental-imajinasi.
Seribu tahun sebelum itu, AlKhawaritzmi mengembangkan disiplin matematika baru: aljabar. AlKharitzmi beruntung hidup dalam lingkungan agama Islam yang kuat. Ajaran Islam, secara inheren, menuntut keterampilan matematika tingkat tinggi. Misalnya, Islam menetapkan aturan pembagian waris yang detil. Pembagian waris sistem Islam melibatkan banyak variabel matematis. Variabel-variabel yang beragam ini menantang penganut Islam – termasuk AlKhawaritzmi – untuk mencari pemecahan yang elegan.
Pemecahan terhadap sistem persamaan yang melibatkan banyak variabel ini membawa ke arah disiplin baru matematika: aljabar. AlKhawaritzmi menulis buku khusus tentang aljabar yang sangat fenomenal. Buku yang berjudul Aljabar ini menjadi panutan bagi matematikawan seluruh dunia. Sehingga nama AlKhawaritzmi menjadi dikenal sebagai Aljabar AlKhawaritzmi (Algebra Algorithm).
Sistem kalender Islam yang berbasis pada komariah (bulan, lunar) memberikan tantangan tersendiri. Penetapan awal bulan menjadi krusial di dalam Islam. Berbeda dengan kalender syamsiah (matahari, solar). Dalam kalender syamsiah, kita tidak begitu sensitif apa berbedaan tanggal 1 Juni dengan 2 Juni. Tetapi pada sistem komariah, perbedaan 1 Ramadhan denga 2 Ramadhan berdampak besar.
Itulah sebabnya, astronomi Islam dapat maju lebih awal. Astronomi memicu lebih berkembangnya teori trigonometri. Aturan sinus, cosinus, dan kawan-kawan berkembang pesat di tangan para astronom Islam waktu itu.
Ajaran agama Islam adalah jalan hidup. Untuk bisa melaksanakan ajaran Islam diperlukan matematika. Matematika menjadi jalan hidup.
Sehebat itukah peran matematika?
Haruskah kita mengambil matematika sebagai jalan hidup?
Tidak selalu! Tidak semua orang perlu mengambil matematika sebagai jalan hidup. Tidak harus semua orang meniru AlKhawaritzmi dan Trachtenberg.
Beberapa orang belajar matematika hanya untuk kesenangan. Beberapa orang yang lain belajar karena kewajiban. Ada pula yang belajar matematika agar naik jabatan. Ada juga agar lulus UN, SPMB, UMPTN. Ada juga untuk menjadi juara.
Masing-masing tujuan, berimplikasi kepada cara belajar matematika yang berbeda. Misalnya bila Anda belajar matematika untuk kepentingan lulus UN, SPMB, UMPTN 2008 akan berbeda dengan belajar untuk memenangkan olimpiade matematika.
Matematika UN, SPMB, UMPTN 2008 hanya menerapkan soal pilihan ganda. Implikasinya Anda hanya dinilai dari jawaban akhir Anda. Proses Anda menemukan jawaban itu tidak penting. Jadi Anda harus memilih siasat yang cepat dan tepat.
Gunakan berbagai macam rumus cepat dalam matematika. Rumus cepat ampuh Anda gunakan untuk UN, SPMB, UMPTN. Tetapi rumus cepat matematika tidak akan berguna untuk olimpiade atau kuliah kalkulus kelak di perguruan tinggi. Anda harus sadar itu.
Contoh rumus cepat matematika yang sering (hampir selalu) berguna ketika UN, SPMB, UMPTN adalah rumus tentang deret aritmetika.
Contoh soal:
Jumlah n suku pertama dari suatu deret adalah Sn = 3n^2 + n. Maka suku ke-11 dari deret tersebut adalah…
Tentu ada banyak cara untuk menyelesaikan soal ini.
Cara pertama, tentukan dulu rumus Un kemudian hitung U11. Cara ini cukup panjang. Tetapi bagus Anda coba untuk meningkatkan keterampilan dan pemahaman konsep deret. Rumus Un dapat kita peroleh dari selisih Sn – S(n-1) .
Cara kedua, sedikit lebih cerdik dari cara pertama. Kita tidak perlu menentukan rumus Un. Karena kita memang tidak ditanya rumus tersebut. Kita langsung menghitung U11 dengan cara menghitung selisih
S11 – S10 = U11
[3(11^2) + 11] – [3(10^2) + 10]
= 3.121 – 3.100 + 11 – 10
= 3.21 + 1
= 64
Cara ketiga, adalah rumus matematika paling cepat dari kedua rumus di atas. Tetapi sebelum menerapkan cara ketiga, kita harus memahami konsepnya terlebih dahulu dengan baik.
Are you ready?
Bentuk baku dari n suku pertama deret aritmetika adalah
Sn = (b/2)n^2 + k.n
Un = b(n-1) + a
a = S1 = U1
Anda harus pahami konsep di atas dengan baik. Cobalah untuk beberapa soal yang berbeda-beda. Tanpa pemahaman konsep yang baik, rumus cepat ini akan berubah menjadi rumus berat.
Dengan hanya melihat soal (tanpa menghitung di kertas) bahwa
Sn = 3n^2 + n
Kita peroleh
b = 6 (dari 3 x 2)
a = 4 (dari S1 = 3 + 1)
U11 = 6.10 + 4 = 64 (Selesai)
Semua perhitungan di atas dapat kita lakukan tanpa menggunakan alat tulis. Semua kita lakukan hanya dalam imajinasi kita. Ulangi beberapa kali. Anda pasti akan menguasainya dengan baik.
Trik untuk menguasai rumus cepat matematika adalah kuasai pula rumus standarnya – rumus biasanya. Dengan menguasai dua cara ini Anda akan semakin terampil menggunakan rumus cepat matematika.

Minggu, 03 April 2011

RUMUS CINTA MATEMATIKA EKONOMI

Jangan jadi pujangga cinta kalau lo ga pada tau hukum cinta…Jangan sok puitis kalau rumus cinta ga tau…
sebenarnya ku cuma merealisasikan khayalan KU aja waktu pelajaran matematika ekonomi. Secara waktu kuliah dapet mapel matematika ekonomi cuma sekali doang jadi ku ga tau persis. Waktu itu membahas masalah Macam-macam barang.

Berdasarkan cara memperolehnya, barang dan jasa pemuas kebutuhan dibedakan sebagai berikut:
  1. Barang Ekonomi (Econom ic Goods )adalah barang pemuas kebutuhan yang untuk memperoleh nya diperlukan pengorbanan.
  2. Barang Bebas (Free Goo d s ) adalah barang pemuas kebutuhan yang untuk memperolehnya tidak diperlukan pengorbanan.
Berdasarkan Kegunaan dalam Hubungannya dengan Barang Lain
(Sampai pula pada barang subtitusi and komplementer)
  1. Barang Substitusi adalah barang yang memiliki kegunaan untuk menggantikan barang lain.
  2. Barang Komplementer adalah barang yang memiliki kegunaan untuk melengkapi barang lain.
Terus apa kaitannya sama cinta?
Tau ga sih  kebanyakan pujangga mengatakan kalau cinta itu butuh pengorbanan. Tapi banyak banget cowok maupun cewek yang menyia-nyiakan cinta. Mereka menyiakan cinta karena sebenernya mereka ga tau bagaimana menerapkan cinta sesungguhnya. Alias ga tau rumusnya. Dalam ekonomi dijelaskan kalau barang ekonomi adalah barang pemuas kebutuhan yang untuk memperoleh nya diperlukan pengorbanan, sedangkan barang bebas adalah barang pemuas kebutuhan yang untuk memperolehnya tidak diperlukan pengorbanan. 

Itu artinya cinta adalah barang ekonomi bagi yang butuh cinta. Sedangkan yang tidak butuh cinta dia menganggap cinta adalah barang bebas. Tentu aja semua butuh cinta. Kalau yang bukan impersonal aja sih.


Tips buat anak-anak yang masih pada ingusan, baru gede, masih remaja, ataupun udah tua kalau lo semua butuh cinta lo musti sekolah dulu supaya tau rumus cinta itu apa and bagaimana. Manfaatnya apa? ya supaya lo semua ga salah beli barang. Ya ga sih? 

Cinta itu elastis man..kalau harganya murah pasti permintaan banyak. Tapi kalau harganya tinggi, permintaan akan turun. Tapi inget juga faktor yang mempengaruhi permintaan apa.

Yang ke dua nih…
Hahaha, lo tau ga, ternyata rumus cinta ada juga yang lain. Gue pernah denger pengakuan seorang cowok ohoho siapa nih? Dia bilang katanya dia nyari cewek yang punya banyak persamaan kaya dia. Dia suka A, si cewek juga harus suka. Katanya biar ga suka berantem. Hahaha repot amat…Dan kebanyakan dari semua cowok yang gue temuin emang berpendapat yang sama. Yaitu bakal cocok sama cewek yang punya banyak persamaan.
Jadi gini mas bro. Rumus Cinta berdasarkan kegunaan dalam hubungannya dengan orang lain itu kaya barang subtitusi dan komplementer. Cinta sebagai barang substitusi adalah cinta yang memiliki kegunaan untuk menggantikan cinta lain. 
Maksudnya kalau Aku punya sifat atau kelebihan yang berbeda sama Dia maka itu rumusnya adalah saling menggantikan.
Seperti persamaan matematika berikut:
1)4x+5y=17
2)2x+3y=11
untuk mendapatkan nilai yang sama tiap x dan y nya maka diperlukan eliminasi dulu antara kedua persamaan yaitu:
=>4x+5y=17   di kalikan 1            =>4x+5y=17
=>2x+3y=11   di kalikan 2            =>4x+6y=22
kita eliminasi dgn mengurangkan maka didapat
=>  -y=-5
 =>  y =5
lalu subtitusi ke persamaan pertama 4x+5(5)=17
=>  4x+25=17
=>  4x      =-8
=>   x       =-2
jadi masing masing (x,y) =(-2,5)
sama kan seperti cinta, dari Aku perlu -2 dan Dia perlu 5
Hahahahaha …. abaikan saja bro.......!
Sama halnya kaya cinta komplementer, yaitu cinta yang memiliki kegunaan untuk melengkapi cinta lain. Hampir mirip sama persamaan matematika tadi yaitu melengkapi. Jadi ga masalah beda seberapa banyak, tapi yang namanya cinta komplementer itu akan saling melengkapi biarpun 1/1000000000 nya. See? Ga semua harus sama tapi juga bisa melengkapi kekurangan yang ada pada setiap sifat atau pribadi. 
Wah dari matematika ekonomi turun ke hati… aca aca ca.
Kesimpulannya bro…Tulisan ini cuman intermezo aja. Siapa yang butuh barang ekonomi ya harus melakukan pengorbanan untuk memperolehnya. Soalnya cintaku juga termasuk barang ekonomi, tidak akan ku jual sebagai barang bebas. Nah buat yang cinta sama aku (PD bgt bilangnya, emang siapa yang cinta sama gue? hahaha) siap-siaplah berkorban untuk mendapatkan cinta gue. Barang ekonomi loh…HAHAHAHAHA LOL
Buat temen-temen yang lagi pilih-pilih barang ekonomi nah tuh pilih yang bener dan tentukan apakah barang yang akan di beli termasuk komplementer atau subtitusi, Yang pasti semua sama bagusnya tinggal kebijaksanaan aja. Yaiiii..
Whoyy pujangga, jangan sok romantis sebelum kenal rumus cinta gue! sudah dipatenkan.


RUMUS CINTA

Bilamana cinta adalah rumus kimia ataukah mungkin fisika yang juga susah tuk dipecahkan...
Namun cinta adalah suatu persamaan yang membutuhkan substitusi...
ataupun eliminasi...
Dan juga cinta bukanlah reduksi ataupun oksidasi,melainkan redoks...
Adalah cinta sejati bila saja ion dirimu bereaksi dalam ion dalam diriku hingga membentuk suatu senyawa kasih sayang.
Lapisan ozon takkan lagi menjadi pemisah antara pertidaksamaan molekul ion kita...
Cinta tidak bisa direfleksikan hanya dengan satu cermin datar,tidak juga dengan perhitungan logaritma.
Namun yang dibutuhkan adalah satu garis vertikal,dapat keikhlasan dari TUHAN semata.....